Image (algèbre linéaire)

Formulaire de report

Problème d'affichage Contenu de la note peu pertinent

Définition

Définition :
Soit \(f\) une application linéaire de \(E\) dans \(F\)
L'ensemble \(\{f(u):u\in E\}\), noté \(\operatorname{Im} f\), est appelé image de \(f\)

Formule

Si \(E=\operatorname{Vect}(u_1,u_2,\ldots,u_n)\), alors $${{\operatorname{Im}f}}={{\operatorname{Vect}\left(f(u_1),f(u_2),\ldots,f(u_n)\right)}}$$

(Ensemble des combinaisons linéaires)

Propriétés

Sous-espace vectoriel

Proposition :
\(\operatorname{Im}f\) est un sous-espace vectoriel de \(E\)

(Sous-espace vectoriel - Sous-famille)

Démonstration :

Lien avec les surjections

Proposition :
\(f\) est surjective si et seulement si \({{\operatorname{Im}f}}={{F}}\)

(Surjection)

Montrer qu'une application linéaire \(f\) est surjective si et seulement si \(\operatorname{dim}\operatorname{Im} f=n\), avec \(n=\operatorname{dim} E\)

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Si \(\operatorname{dim}\operatorname{Im} f=n\), alors il existe \(n\) vecteurs libres dans \(\operatorname{Im} f\) qui forment une base de \(E\)
Donc chaque vecteur de \(E\) peut s'écrire comme une combinaison linéaire des vecteurs de l'image de \(f\)
\(f\) est donc surjective